函数的极值

函数的极值 极大值数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

极大值的定义设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0​ 的某个邻域内有定义，如果存在 δ>0\delta > 0δ>0，使得对于该邻域内的任意 xxx，都有： f(x)≤f(x0)f(x) \leq f(x_0)f(x)≤f(x0​)

则称 f(x0)f(x_0)f(x0​) 为函数 f(x)f(x)f(x) 的极大值，x0x_0x0​ 称为极大值点。

几何解释函数图像在该点达到局部最高点。

符号说明符号类型读音/说明在本文中的含义δ\deltaδ希腊字母Delta（德尔塔）表示足够小的正数 极小值数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

极小值的定义设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0​ 的某个邻域内有定义，如果存在 δ>0\delta > 0δ>0，使得对于该邻域内的任意 xxx，都有： f(x)≥f(x0)f(x) \geq f(x_0)f(x)≥f(x0​)

则称 f(x0)f(x_0)f(x0​) 为函数 f(x)f(x)f(x) 的极小值，x0x_0x0​ 称为极小值点。

几何解释函数图像在该点达到局部最低点。

例题分析例题 1求函数 f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3f(x)=x2−4x+3 的极值。

参考答案 (3 个标签)极值 二次函数 图像分析解题思路： 通过图像分析和数值比较来判断极值。

详细步骤：

绘制函数图像： 这是一个二次函数，图像为抛物线，开口向上。

识别极值点： 由于抛物线开口向上，函数有最小值点（极小值点），没有最大值点。

求极小值点： 对于二次函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c，其对称轴为 x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​ x=−−42×1=2x = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2x=−2×1−4​=2

计算极值： f(2)=22−4×2+3=4−8+3=−1f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1f(2)=22−4×2+3=4−8+3=−1

验证： 取 x=1x = 1x=1，f(1)=1−4+3=0>−1f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 > -1f(1)=1−4+3=0>−1 取 x=3x = 3x=3，f(3)=9−12+3=0>−1f(3) = 9 - 12 + 3 = 0 > -1f(3)=9−12+3=0>−1 确认 x=2x = 2x=2 为极小值点。

答案： 函数在 x=2x = 2x=2 处取得极小值 −1-1−1。

例题 2求函数 f(x)=−x2+2x+1f(x) = -x^2 + 2x + 1f(x)=−x2+2x+1 的极值。

参考答案 (3 个标签)极值 二次函数 极大值解题思路： 通过图像分析和数值比较来判断极值。

详细步骤：

绘制函数图像： 这是一个二次函数，图像为抛物线，开口向下。

识别极值点： 由于抛物线开口向下，函数有最大值点（极大值点），没有最小值点。

求极大值点： 对于二次函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c，其对称轴为 x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​ x=−22×(−1)=1x = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1x=−2×(−1)2​=1

计算极值： f(1)=−12+2×1+1=−1+2+1=2f(1) = -1^2 + 2 \times 1 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2f(1)=−12+2×1+1=−1+2+1=2

验证： 取 x=0x = 0x=0，f(0)=0+0+1=1<2f(0) = 0 + 0 + 1 = 1 < 2f(0)=0+0+1=1<2 取 x=2x = 2x=2，f(2)=−4+4+1=1<2f(2) = -4 + 4 + 1 = 1 < 2f(2)=−4+4+1=1<2 确认 x=1x = 1x=1 为极大值点。

答案： 函数在 x=1x = 1x=1 处取得极大值 222。

例题 4一个长方形的周长固定为 202020 厘米，求其面积的最大值。

参考答案 (3 个标签)极值 应用题 面积最大化解题思路： 建立函数关系，通过图像分析求极值。

详细步骤：

建立函数关系： 设长方形的长为 xxx，宽为 yyy 周长：2(x+y)=202(x + y) = 202(x+y)=20，所以 y=10−xy = 10 - xy=10−x 面积：S=xy=x(10−x)=10x−x2S = xy = x(10 - x) = 10x - x^2S=xy=x(10−x)=10x−x2

分析函数： 这是一个二次函数 S(x)=−x2+10xS(x) = -x^2 + 10xS(x)=−x2+10x，开口向下，有最大值。

求最大值点： 对称轴：x=−102×(−1)=5x = -\frac{10}{2 \times (-1)} = 5x=−2×(−1)10​=5

计算最大值： S(5)=10×5−52=50−25=25S(5) = 10 \times 5 - 5^2 = 50 - 25 = 25S(5)=10×5−52=50−25=25

验证： 当 x=4x = 4x=4 时，S(4)=40−16=24<25S(4) = 40 - 16 = 24 < 25S(4)=40−16=24<25 当 x=6x = 6x=6 时，S(6)=60−36=24<25S(6) = 60 - 36 = 24 < 25S(6)=60−36=24<25

答案： 当长方形的长为 555 厘米，宽为 555 厘米时，面积取得最大值 252525 平方厘米。

练习题练习 1求函数 f(x)=x2+2x+1f(x) = x^2 + 2x + 1f(x)=x2+2x+1 的极值。

参考答案 (3 个标签)极值 二次函数 极小值解题思路： 通过图像分析和数值比较来判断极值。

详细步骤：

绘制函数图像： 这是一个二次函数，图像为抛物线，开口向上。

识别极值点： 由于抛物线开口向上，函数有最小值点（极小值点），没有最大值点。

求极小值点： 对于二次函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c，其对称轴为 x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​ x=−22×1=−1x = -\frac{2}{2 \times 1} = -1x=−2×12​=−1

计算极值： f(−1)=(−1)2+2×(−1)+1=1−2+1=0f(-1) = (-1)^2 + 2 \times (-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0f(−1)=(−1)2+2×(−1)+1=1−2+1=0

验证： 取 x=−2x = -2x=−2，f(−2)=4−4+1=1>0f(-2) = 4 - 4 + 1 = 1 > 0f(−2)=4−4+1=1>0 取 x=0x = 0x=0，f(0)=0+0+1=1>0f(0) = 0 + 0 + 1 = 1 > 0f(0)=0+0+1=1>0 确认 x=−1x = -1x=−1 为极小值点。

答案： 函数在 x=−1x = -1x=−1 处取得极小值 000。

练习 2求函数 f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x - 5f(x)=−x2+6x−5 的极值。

参考答案 (3 个标签)极值 二次函数 极大值解题思路： 通过图像分析和数值比较来判断极值。

详细步骤：

绘制函数图像： 这是一个二次函数，图像为抛物线，开口向下。

识别极值点： 由于抛物线开口向下，函数有最大值点（极大值点），没有最小值点。

求极大值点： 对于二次函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c，其对称轴为 x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​ x=−62×(−1)=3x = -\frac{6}{2 \times (-1)} = 3x=−2×(−1)6​=3

计算极值： f(3)=−32+6×3−5=−9+18−5=4f(3) = -3^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4f(3)=−32+6×3−5=−9+18−5=4

验证： 取 x=2x = 2x=2，f(2)=−4+12−5=3<4f(2) = -4 + 12 - 5 = 3 < 4f(2)=−4+12−5=3<4 取 x=4x = 4x=4，f(4)=−16+24−5=3<4f(4) = -16 + 24 - 5 = 3 < 4f(4)=−16+24−5=3<4 确认 x=3x = 3x=3 为极大值点。

答案： 函数在 x=3x = 3x=3 处取得极大值 444。

练习 3改编自 2025 年考研数学一第 1 题

f(x)=∫0xet2sin⁡t dtf(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dtf(x)=∫0x​et2sintdt，x=0x=0x=0 是 f(x)f(x)f(x) 的极值点吗？如果是，求极值。

参考答案 (3 个标签)导数 高阶导数 极值解题思路： 本题考查积分上限函数的极值判定。首先需要对 f(x)f(x)f(x) 求导，判断 x=0x=0x=0 是否为极值点，并计算极值。

详细步骤：

由 f(x)=∫0xet2sin⁡t dtf(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dtf(x)=∫0x​et2sintdt，根据微积分基本定理，f′(x)=ex2sin⁡xf'(x) = e^{x^2} \sin xf′(x)=ex2sinx。计算 f′(0)f'(0)f′(0)：f′(0)=e0sin⁡0=1×0=0f'(0) = e^{0} \sin 0 = 1 \times 0 = 0f′(0)=e0sin0=1×0=0，说明 x=0x=0x=0 处导数为零，有可能为极值点。计算 f′′(x)f''(x)f′′(x)： f′′(x)=ddx[ex2sin⁡x]=2xex2sin⁡x+ex2cos⁡xf''(x) = \frac{d}{dx}[e^{x^2} \sin x] = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos xf′′(x)=dxd​[ex2sinx]=2xex2sinx+ex2cosx计算 f′′(0)f''(0)f′′(0)： f′′(0)=2×0×1×0+1×1=0+1=1>0f''(0) = 2 \times 0 \times 1 \times 0 + 1 \times 1 = 0 + 1 = 1 > 0f′′(0)=2×0×1×0+1×1=0+1=1>0 说明 x=0x=0x=0 处为极小值点。计算极小值： f(0)=∫00et2sin⁡t dt=0f(0) = \int_0^0 e^{t^2} \sin t\,dt = 0f(0)=∫00​et2sintdt=0答案： x=0x=0x=0 是 f(x)f(x)f(x) 的极小值点，对应极小值为 000。

总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义f(x)f(x)f(x)数学符号f of x函数记号，表示以 xxx 为自变量的函数x0x_0x0​数学符号x zero表示函数取得极值的点δ\deltaδ希腊字母Delta（德尔塔）表示足够小的正数，用于定义邻域f(x0)f(x_0)f(x0​)数学符号f of x zero函数在点 x0x_0x0​ 处的函数值中英对照中文术语英文术语音标说明极值extremum/ɪkˈstriːməm/函数在某个点处的局部最大值或最小值极大值maximum/ˈmæksɪməm/函数在某个点处的局部最大值极小值minimum/ˈmɪnɪməm/函数在某个点处的局部最小值极大值点maximum point/ˈmæksɪməm pɔɪnt/函数取得极大值的点极小值点minimum point/ˈmɪnɪməm pɔɪnt/函数取得极小值的点极值点extremum point/ɪkˈstriːməm pɔɪnt/函数取得极值的点邻域neighborhood/ˈneɪbəhʊd/包含某个点的开区间局部local/ˈləʊkəl/在某个点的邻域内抛物线parabola/pəˈræbələ/二次函数的图像对称轴axis of symmetry/ˈæksɪs əv ˈsɪmɪtri/抛物线的对称直线 上一章节 函数的有界性下一章节 极值的判定方法 课程路线图1高等数学之函数探秘

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