2.2 （函数）极限的概念、关于左右极限的典型错误

1. 数列极限与函数极限

数列极限是函数极限的一种特殊情况。 数列可以看作是定义域为正整数集（或其子集）的函数。因此，数列极限 lim (n→∞) a_n 可以视为函数极限 lim (x→∞) f(x) 在 x 取正整数时的特例。 这里的函数被称为"整标函数", n=0,1,2,3…

2. 函数极限的充要条件（定理 1）

定理 1： 函数 f(x) 当 x 趋近于 x₀ 时极限存在的充要条件是：左极限和右极限都存在，且相等。

lim (x→x₀) f(x) = A <=> lim (x→x₀⁻) f(x) = lim (x→x₀⁺) f(x) = A

其中：

lim (x→x₀) f(x) 表示函数 f(x) 在 x 趋近于 x₀ 时的极限。lim (x→x₀⁻) f(x) 表示函数 f(x) 在 x 从左侧趋近于 x₀ 时的左极限。lim (x→x₀⁺) f(x) 表示函数 f(x) 在 x 从右侧趋近于 x₀ 时的右极限。A 是一个确定的常数。

3. x→∞ 与 n→∞ 的区别

x→∞ (包括 x→+∞ 和 x→-∞) 表示 x 是一个连续变量，可以趋近于正无穷或负无穷。而 n→∞ 通常表示 n 是一个离散变量（通常是正整数），只能趋近于正无穷。

lim (x→∞) 1/x = 0 (x 可以是 ±∞ 任何实数)

lim (n→∞) 1/n = 0 (n 只能是正整数)

4. 关于函数极限的经典错误

这里的 Δ 应该理解为一个趋近于 0 但不等于 0 的变量。如果 Δ 本身就等于 0，则表达式无意义（分母不能为零）

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5. 左右极限（定理 2）

定理 2： 函数极限存在且等于 A 的充要条件是左极限和右极限都存在且都等于 A。

6. 需要分左右极限讨论的情况

三种常见情形：

分段函数在分界点处： 如果函数在分界点两侧的表达式不同，需要分别计算左极限和右极限。

e^∞ 型极限： 例如 lim (x→0) e^(1/x)。需要区分 x 从左侧趋近于 0 (1/x → -∞, e^(1/x) → 0) 和从右侧趋近于 0 (1/x → +∞, e^(1/x) → +∞)。

arctan(∞) 型极限： 例如 lim (x→0) arctan(1/x)。需要区分 x 从左侧趋近于 0 (1/x → -∞, arctan(1/x) → -π/2) 和从右侧趋近于 0 (1/x → +∞, arctan(1/x) → π/2)。

7. 例题